#title: "Introduction à l'algèbre linéaire" description: "Espaces vectoriels, applications linéaires et calcul matriciel"
#Introduction à l'algèbre linéaire
L'algèbre linéaire constitue, avec l'analyse, l'un des deux piliers fondamentaux des mathématiques modernes. Née de l'étude des systèmes d'équations linéaires, elle s'est développée au XIX
e et XXe siècles pour devenir un langage universel des mathématiques et de leurs applications. Aujourd'hui, l'algèbre linéaire imprègne tous les domaines scientifiques : elle structure la mécanique quantique, fonde l'infographie 3D, permet l'apprentissage automatique, et s'avère indispensable en optimisation, en statistiques et en théorie des graphes.
Le terme "linéaire" renvoie à la propriété centrale de cette branche des mathématiques : l'étude des objets et des transformations qui préservent les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Cette simplicité apparente cache une richesse extraordinaire : les espaces vectoriels peuvent être de dimension finie ou infinie, les applications linéaires peuvent modéliser des rotations, des projections, des symétries, et leur composition engendre une algèbre complexe.
#Pourquoi l'algèbre linéaire ?
L`algèbre linéaire offre un cadre unifié pour résoudre des problèmes de natures très diverses. Un physicien utilisant les équations de Maxwell, un économètre modélisant l'évolution de marchés financiers, un ingénieur en vision par ordinateur analysant des images, et un mathématicien étudiant les équations différentielles emploient tous le même langage et les mêmes outils : vecteurs, matrices, applications linéaires, valeurs propres.
Cette universalité s'explique par le fait que de nombreux phénomènes, qu'ils soient naturels ou construits, manifestent une forme de linéarité, au moins en première approximation. Les petites oscillations d'un pendule, les déformations élastiques d'un matériau, la propagation d'ondes, ou encore la transmission de signaux numériques se décrivent tous par des équations linéaires.
Au-delà des applications, l'algèbre linéaire développe une forme particulière de raisonnement mathématique, combinant algèbre abstraite et géométrie. Elle enseigne à penser en termes de structures plutôt que d'objets individuels, à reconnaître les invariants sous les transformations, et à exploiter les symétries des problèmes.
#Structure du cours
Notre parcours commence par l'introduction des espaces vectoriels, objets abstraits qui généralisent l'espace géométrique familier . Nous définirons rigoureusement ce qu'est un vecteur (non plus une fl èche mais un élément d'un ensemble muni de certaines opérations), étudierons les notions de combinaisons linéaires, de sous-espaces, de bases et de dimension. Ces concepts peuvent sembler austères au début, mais ils constituent le vocabulaire indispensable pour toute la suite.
Nous explorerons ensuite les applications linéaires, qui sont les morphismes naturels entre espaces vectoriels. Une application linéaire préserve la structure vectorielle : elle transforme une combinaison linéaire en la combinaison linéaire des images. Cette propriété, apparemment anodine, a des conséquences profondes : elle permet de ramener l'étude d'une application linéaire à celle de son action sur une base, ouvrant la voie au calcul matriciel.
Les matrices apparaissent naturellement comme l'outil de représentation des applications linéaires dans des bases choisies. Le produit matriciel, loin d'être une opération arbitraire, correspond à la composition des applications. Le déterminant mesure le facteur de dilatation des volumes sous l'application. Nous verrons comment résoudre des systèmes linéaires grâce aux méthodes de Gauss, comment inverser des matrices, et comment calculer des déterminants efficacement.
Enfin, nous aborderons la diagonalisation, qui consiste à choisir une base adaptée dans laquelle l'application linéaire prend la forme la plus simple possible. Les vecteurs propres et valeurs propres jouent ici un rôle crucial : ils révèlent les directions invariantes et les facteurs d'échelle associés. Cette théorie spectrale trouve des applications spectaculaires, de la résolution des systèmes d'équations différentielles à l'analyse des réseaux complexes.
#Prérequis et approche pédagogique
Ce cours suppose une familiarité avec les nombres réels, les nombres complexes (qui apparaîtront dans certains exemples), et les rudiments de la logique mathématique (quantificateurs, raisonnements par l'absurde ou par contraposée). Une certaine aisance avec le calcul algébrique (manipulation d'équations, factorisation) sera également précieuse.
L'algèbre linéaire requiert une double approche : géométrique et algébrique. Les concepts abstraits (espaces vectoriels, applications linéaires) s'éclairent par des visualisations géométriques, tandis que les calculs concrets (opérations matricielles, résolution de systèmes) ancrent la théorie dans la pratique. Il est essentiel de ne jamais séparer ces deux aspects : toujours chercher l'interprétation géométrique d'un résultat algébrique, et toujours formaliser rigoureusement une intuition géométrique.
Les démonstrations en algèbre linéaire présentent une saveur particulière. Beaucoup reposent sur des arguments de dimension, sur la manipulation de combinaisons linéaires, ou sur des raisonnements par récurrence sur la dimension. Ces techniques, une fois maîtrisées, deviennent de puissants outils de résolution de problèmes.
Au fil des chapitres, vous découvrirez de nombreux exemples concrets et des applications à divers domaines. L'algèbre linéaire n'est pas une théorie purement abstraite : elle est constamment en dialogue avec la géométrie, la physique, l'informatique et les statistiques. Chaque concept trouvera ainsi une motivation concrète et des illustrations parlantes.
Nous vous encourageons à résoudre de nombreux exercices, car c'est en manipulant concrètement vecteurs et matrices que se forge l'intuition. Visualisez les transformations linéaires, dessinez des sous-espaces, calculez des déterminants. Cette pratique régulière transformera progressivement les définitions abstraites en outils familiers et naturels.