Espaces vectoriels

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#Espaces vectorielsCopier le lien

La notion d'espace vectoriel est l'une des abstractions les plus fécondes des mathématiques modernes. En généralisant les propriétés familières de l'espace géométrique , elle permet de traiter de manière unifiée des objets aussi divers que les polynômes, les fonctions continues, les suites, ou les matrices. Cette unification révèle des structures profondes communes et permet d'appliquer les mêmes techniques à des problèmes apparemment très différents.

#Définition axiomatiqueCopier le lien

Un espace vectoriel sur un corps (typiquement ou ) est un ensemble E muni de deux opérations :

• Une addition interne : , notée
• Une multiplication par un scalaire : , notée

Ces opérations doivent satisfaire huit axiomes fondamentaux. Pour tous vecteurs et tous scalaires :

Axiomes pour l'addition :

1. Associativité :
2. Commutativité :
3. Élément neutre : Il existe tel que pour tout u
4. Opposé : Pour tout u, il existe tel que

Axiomes pour la multiplication par un scalaire :

5. Associativité mixte :
6. Élément neutre : où 1 est l'élément neutre de
7. Distributivité par rapport à l'addition vectorielle :
8. Distributivité par rapport à l'addition scalaire :

Ces axiomes, bien qu'apparaissant techniques, codifient simplement les propriétés intuitives que nous attendons des vecteurs. Ils permettent de manipuler les combinaisons linéaires avec les règles algébriques familières, tout en s'appliquant à des contextes bien plus vastes que le seul .

#Exemples fondamentauxCopier le lien

L'espace est l'exemple prototypique. Un vecteur est un n-uplet de nombres réels. L'addition et la multiplication par un scalaire se définissent composante par composante :

Toute la géométrie euclidienne se reformule dans ce langage : les droites sont les espaces vectoriels de dimension 1, les plans ceux de dimension 2, etc.

L'espace des polynômes est l'ensemble de tous les polynômes à coefficients réels. L'addition de polynômes et la multiplication d'un polynôme par un scalaire en font un espace vectoriel de dimension infinie. Le sous-ensemble des polynômes de degré au plus n forme lui un espace de dimension n+1.

L'espace des fonctions est l'ensemble de toutes les fonctions de dans . L'addition de fonctions et la multiplication par un scalaire se définissent point par point : et . Cet espace, de dimension infinie, contient de nombreux sous-espaces intéressants comme les fonctions continues, les fonctions dérivables, les fonctions périodiques, etc.

L'espace des matrices est l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes. L'addition matricielle et la multiplication par un scalaire en font un espace vectoriel de dimension np. Ce t exemple montre que même des objets apparemment différents des "vecteurs géométriques" peuvent former des espaces vectoriels.

#Combinaisons linéaires et sous-espacesCopier le lien

Une combinaison linéaire de vecteurs est une expression de la forme :

où sont des scalaires. L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs forme le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent, noté .

Un sous-espace vectoriel F de E est un sous-ensemble non vide de E stable par les opérations : si et , alors et . Autrement dit, un sous-espace est lui-même un espace vectoriel (pour les opérations induites).

Par exemple, dans , les droites passant par l'origine sont des sous-espaces de dimension 1, les plans passant par l'origine sont des sous-espaces de dimension 2. Dans , l'ensemble des polynômes pairs (vérifiant ) forme un sous-espace.

Le théorème suivant caractérise les sous-espaces : est un sous-espace si et seulement si , et pour tous et tout , on a (stabilité par combinaisons linéaires).

#Famille libre et famille génératriceCopier le lien

Une famille de vecteurs est dite libre (ou linéairement indépendante) si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :

Géométriquement, cela signifie qu'aucun vecteur de la famille ne peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres. Dans , deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre, tandis que trois vecteurs coplanaires forment une famille liée.

Une famille est dite génératrice de E si tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire des :

Autrement dit, . Par exemple, les trois vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) forment une famille génératrice de .

#Bases et dimensionCopier le lien

Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice. C'est la notion centrale de l'algèbre linéaire. Dans une base , tout vecteur v s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de base :

Les scalaires sont appelés les coordonnées de v dans la base . L'unicité de cette décomposition découle du caractère libre de la base, tandis que l'existence provient du caractère générateur.

Le théorème de la base énonce que tout espace vectoriel (de dimension finie) admet une base. De plus, toutes les bases d'un même espace ont le même nombre d'éléments, appelé la dimension de l'espace, notée .

Par exemple :

• avec la base canonique
• avec la base

La dimension mesure en quelque sorte le "nombre de degrés de liberté" de l'espace. C'est un invariant fondamental qui permet de comparer des espaces vectoriels : deux espaces de même dimension finie sur le même corps sont isomorphes (il existe une bijection linéaire entre eux).

#Théorèmes fondamentaux sur la dimensionCopier le lien

Plusieurs résultats importants lient la dimension aux propriétés des familles de vecteurs :

Théorème de la base incomplète : Toute famille libre peut être complétée en une base. Réciproquement, de toute famille génératrice, on peut extraire une base.

Théorème : Dans un espace de dimension n, toute famille de n vecteurs libres est une base. Toute famille génératrice de n vecteurs est une base. Toute famille de plus de n vecteurs est liée.

Formule de Grassmann : Pour deux sous-espaces F et G d'un espace vectoriel E de dimension finie :

Cette formule généralise le principe d'inclusion-exclusion et s'avère très utile pour calculer des dimensions.

La maîtrise de ces concepts théoriques est essentielle car ils sous-tendent tout le reste de l'algèbre linéaire : les applications linéaires, les matrices, la diagonalisation... Chaque notion ultérieure s'exprimera en termes d'espaces vectoriels, de bases et de dimensions.