Applications linéaires

#title: "Applications linéaires" description: "Définitions, noyau, image et théorème du rang"Copier le lien

#Applications linéairesCopier le lien

Les applications linéaires sont les « morphismes » des espaces vectoriels : ce sont les fonctions qui préservent la structure vectorielle. Elles constituent les briques élémentaires de l'algèbre linéaire et permettent de transporter des problèmes d'un espace vers un autre, souvent plus simple. Toute transformation géométrique (rotation, projection, symétrie), toute dérivation, toute intégration, peut s'exprimer comme application linéaire.

#Définition et caractérisationCopier le lien

#Définition formelleCopier le lien

Une application entre deux -espaces vectoriels est dite linéaire si elle satisfait deux conditions fondamentales :

Ces deux conditions se condensent en une seule caractérisation équivalente : pour tous vecteurs et tout scalaire :

#Notation et vocabulaireCopier le lien

• L'ensemble des applications linéaires de dans est noté
• Si , on parle d'endomorphisme, et on note
• Une application linéaire à valeurs dans (c'est-à-dire ) est une forme linéaire

#Propriétés immédiatesCopier le lien

Toute application linéaire vérifie automatiquement :

1. — l'image du vecteur nul est le vecteur nul
2. — linéarité et opposés
3. — extension aux combinaisons linéaires finies

Conséquence fondamentale : Une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base de . Si est une base de , connaître suffit pour calculer pour tout vecteur .

#Noyau et ImageCopier le lien

Deux sous-espaces vectoriels fondamentaux caractérisent le comportement de toute application linéaire.

#Le Noyau (Kernel)Copier le lien

Le noyau de , noté , est l'ensemble des vecteurs envoyés sur zéro :

Démonstration :

• (⇒) Si est injective et , alors .
• (⇐) Si et , alors , donc , c'est-à-dire .

#L'ImageCopier le lien

L'image de , notée , est l'ensemble des vecteurs qui ont un antécédent :

Propriété pratique : Si est une base de , alors :

L'image est engendrée par les images des vecteurs de base. Cela fournit une méthode constructive pour calculer l'image.

#Théorème du rangCopier le lien

Le rang d'une application linéaire est défini comme la dimension de son image :

#Énoncé du théorèmeCopier le lien

Ce théorème exprime un principe de conservation : les dimensions « perdues » dans le noyau sont exactement compensées par les dimensions « atteintes » dans l'image.

#Conséquences pour les endomorphismesCopier le lien

Si est un endomorphisme d'un espace de dimension , alors les assertions suivantes sont équivalentes :

#Projecteurs et symétriesCopier le lien

#ProjecteursCopier le lien

Un endomorphisme est un projecteur s'il est idempotent :

Propriété caractéristique : Si est un projecteur, alors :

Le projecteur est la projection sur parallèlement à .

Interprétation géométrique : Tout vecteur se décompose de manière unique en où et .

#SymétriesCopier le lien

Un endomorphisme est une symétrie s'il est involutif :

Propriété caractéristique : Si est une symétrie, alors :

où (points fixes) et (vecteurs inversés).

Lien avec les projecteurs : Si est un projecteur, alors est une symétrie, et réciproquement.

#Exemples fondamentauxCopier le lien

#1. DérivationCopier le lien

Dans l'espace des polynômes , l'application (dérivée) est linéaire :

• — les constantes sont les seuls polynômes de dérivée nulle
• — tout polynôme est la dérivée d'un autre (surjectif)

#2. Trace d'une matriceCopier le lien

L'application définie par est une forme linéaire :

#3. Rotation dans le planCopier le lien

La rotation d'angle dans est l'endomorphisme de matrice :

• Si , alors — aucun vecteur fixe (sauf l'origine)
• est toujours bijective (isométrie)

#4. Projection orthogonaleCopier le lien

La projection orthogonale sur l'axe des abscisses dans :

• — l'axe des ordonnées
• — l'axe des abscisses
• On vérifie bien :