Matrices
Progression
#title: "Matrices" description: "Calcul matriciel et représentation des applications linéaires"
#Calcul matriciel
Les matrices sont un outil fondamental pour manipuler concrètement les applications linéaires et résoudre des systèmes d'équations.
#Définitions et opérations
Une matrice de taille est un tableau rectangulaire de scalaires comportant lignes et colonnes. On note le coefficient situé à la ligne et à la colonne .
#Opérations élémentaires
- Addition : On additionne terme à terme (possible uniquement si les matrices ont la même taille).
- Multiplication par un scalaire : On multiplie chaque coefficient par le scalaire.
- Transposition : La transposée s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes : .
#Produit matriciel
Le produit n'est défini que si le nombre de colonnes de la première matrice égale le nombre de lignes de la seconde. Si est et est , alors est de taille avec :
Attention : Le produit matriciel n'est pas commutatif en général ().
#Matrice d'une application linéaire
Soit une application linéaire, une base de et une base de .
La matrice de dans les bases et , notée , est la matrice de taille dont la -ème colonne est constituée des coordonnées du vecteur dans la base .
#Lien fondamental
Si est la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur dans , et celle de dans , alors :
où . Ainsi, appliquer une fonction linéaire revient à multiplier un vecteur colonne par une matrice.
Le produit de matrices correspond à la composition des applications linéaires :
#Changement de base
Comment changent les coordonnées d'un vecteur quand on change de base ?
Soient et deux bases de . La matrice de passage est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne base .
#Formules de changement de base
Pour un vecteur (changement de coordonnées) : Si sont les coordonnées dans et dans , alors :
Pour une application linéaire (changement de matrice) : Si est la matrice de dans , et dans , alors :
où est la matrice de passage de à . On dit que et sont semblables.