#title: "Slides — Introduction à l'algèbre linéaire"Copier le lien

#Introduction à l'algèbre linéaireCopier le lien

Licence Mathématiques — Semestre 1
Université Côte d'Azur — Campus Valrose

#Plan du coursCopier le lien

1. Espaces vectoriels
2. Applications linéaires
3. Matrices et déterminants
4. Systèmes linéaires

#1. Espaces vectorielsCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Un -espace vectoriel est un ensemble E muni de:

• Une addition :
• Une multiplication par scalaire :

satisfaisant 8 axiomes (associativité, commutativité, neutres, distributivité...)

#ExemplesCopier le lien

• ,
• (polynômes)
• (fonctions)
• (matrices)

#Sous-espaces vectorielsCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

est un sous-espace si:

#Combinaisons linéairesCopier le lien

C'est le plus petit sous-espace contenant

#Famille libre et génératriceCopier le lien

#Libre (linéairement indépendante)Copier le lien

est libre si:

#GénératriceCopier le lien

engendre E si

#Base et dimensionCopier le lien

#BaseCopier le lien

Une famille à la fois libre et génératrice

Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire

#DimensionCopier le lien

Nombre d'éléments d'une base =

Théorème : Toutes les bases ont le même cardinal

#Exemples de dimensionsCopier le lien

#Formule de GrassmannCopier le lien

#2. Applications linéairesCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

est linéaire si:

pour tous et

#Noyau et imageCopier le lien

#Théorème du rangCopier le lien

Pour linéaire avec :

#IsomorphismeCopier le lien

f bijective et

Deux espaces de même dimension finie sont isomorphes

#3. MatricesCopier le lien

#ReprésentationCopier le lien

Une application linéaire est représentée par une matrice

Les colonnes de A sont les images des vecteurs de la base canonique

#Opérations matriciellesCopier le lien

#AdditionCopier le lien

#MultiplicationCopier le lien

Important : en général !

#TranspositionCopier le lien

#DéterminantCopier le lien

#PropriétésCopier le lien

• non inversible

#Interprétation géométriqueCopier le lien

= facteur de dilatation des volumes

#4. Systèmes linéairesCopier le lien

#Forme matricielleCopier le lien

où , ,

#Méthode de GaussCopier le lien

Opérations élémentaires sur les lignes:

1. Échanger deux lignes
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul
3. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre

#Classification des systèmesCopier le lien

#Système de CramerCopier le lien

et solution unique

#Cas généralCopier le lien

• Si : pas de solution
• Si : infinité de solutions
• Si : solution unique

#RésuméCopier le lien

• Les espaces vectoriels généralisent
• Les bases permettent de représenter tous les vecteurs
• Les applications linéaires préservent la structure
• Les matrices représentent les applications linéaires
• Les systèmes linéaires se résolvent par élimination de Gauss

L'algèbre linéaire est partout ! 🔢

#RessourcesCopier le lien

• Cours complet avec démonstrations
• Exercices corrigés
• Visualisations interactives
• Animations de transformations linéaires

Bon courage ! 🎯