Ensembles & relations

#Ensembles et relationsCopier le lien

Les ensembles sont des collections d'objets distincts, appelés éléments. Les relations permettent de décrire les liens entre les éléments de deux ensembles ou d'un ensemble avec lui-même.

#Opérations ensemblistesCopier le lien

Les opérations fondamentales sur les ensembles incluent :

• Union (A ∪ B) : Ensemble des éléments appartenant à A ou à B.
• Intersection (A ∩ B) : Ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
• Différence (A - B) : Ensemble des éléments appartenant à A mais pas à B.
• Complémentaire (A̅) : Ensemble des éléments n'appartenant pas à A.
• Produit cartésien (A × B) : Ensemble des paires ordonnées (a, b) où a ∈ A et b ∈ B.

#FonctionsCopier le lien

Une fonction f: A → B associe à chaque élément de l'ensemble A (domaine) un unique élément de l'ensemble B (codomaine).

• Injection : Chaque élément de B a au plus un antécédent.
• Surjection : Chaque élément de B a au moins un antécédent.
• Bijection : Fonction qui est à la fois injective et surjective.

#RelationsCopier le lien

Une relation R entre deux ensembles A et B est un sous-ensemble du produit cartésien A × B.

#Relations d'équivalenceCopier le lien

Une relation R sur un ensemble A est une relation d'équivalence si elle est :

1. Réflexive : ∀a ∈ A, aRa
2. Symétrique : ∀a,b ∈ A, aRb ⇒ bRa
3. Transitive : ∀a,b,c ∈ A, aRb ∧ bRc ⇒ aRc

Les classes d'équivalence partitionnent l'ensemble A.

#Relations d'ordreCopier le lien

Une relation R sur un ensemble A est une relation d'ordre si elle est :

1. Réflexive : ∀a ∈ A, aRa
2. Antisymétrique : ∀a,b ∈ A, aRb ∧ bRa ⇒ a = b
3. Transitive : ∀a,b,c ∈ A, aRb ∧ bRc ⇒ aRc

Un ordre est total si deux éléments quelconques sont comparables (∀a,b ∈ A, aRb ∨ bRa).

#Exercice : Implémentation d'opérations ensemblistes en PythonCopier le lien

Implémentez les opérations ensemblistes de base en Python sans utiliser les ensembles intégrés.

#InstructionsCopier le lien

1. Créez une classe Ensemble qui représente un ensemble d'éléments.
2. Implémentez les méthodes suivantes :
   • union(other) : Retourne l'union de deux ensembles.
   • intersection(other) : Retourne l'intersection de deux ensembles.
   • difference(other) : Retourne la différence de deux ensembles.
   • produit_cartesien(other) : Retourne le produit cartésien de deux ensembles.
3. Ajoutez une méthode est_egal(other) pour tester l'égalité d'ensembles.

#Exemple de codeCopier le lien

1class Ensemble:2    def __init__(self, elements=None):3        self.elements = elements if elements is not None else []4    5    def union(self, other):6        result = Ensemble(self.elements[:])7        for elem in other.elements:8            if elem not in result.elements:9                result.elements.append(elem)10        return result11    12    def intersection(self, other):13        result = Ensemble()14        for elem in self.elements: